常微分方程笔记-Ⅰ

关于张伟年《常微分方程》的一些好玩（bushi）的地方

初等积分

拉格朗日研究了11年，才想到这个奇妙的常数变易法。—— Zhang C.R.

常数变易法

对于一阶微分方程

$\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)\qquad (1)$

当$f(x)\equiv0$时， 称其为齐次线性方程。否则，称为非齐次线性方程。对于齐次线性方程，用变量分离法可易求得通解为$y=Ce^{\int a(x)dx}\;\;\;(2)$

对于非齐次方程，由于$f(x)$不为$0$，则无法直接分离变量。拉格朗日面对这个问题思考了十一年，有一天突然天才般地用$c(x)$来代替$(2)$中的$C$，从而展开了后续的一系列的推导。

而这个part最神奇的地方在于，没有人能明白拉格朗日为什么会想到用$c(x)$来代替 $C$…

对$y=c(x)e^{\int a(x)dx}$两边求导，得到

$\frac{dy}{dx}=a(x)c(x)e^{\int a(x)dx}+\frac{dc}{dx}e^{\int a(x)dx} \qquad (3)$

联立$(1)(3)$得到

$\frac{dc}{dx}=f(x)e^{-\int a(x)dx}$

等式两边积分，得到

$c(x)=C+\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx$

回代整理得到非齐次线性方程的通解

$y=Ce^{\int a(x)dx}+e^{\int a(x)dx}\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx$

接下来从某个角度去猜测拉格朗日想到做$C\to c(x)$代换的原因。

《数学分析的思想与方法》

我们再来观察一阶非齐次线性方程

$\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)\qquad (5)$

由于$y$是与$x$有关的（隐）函数，不妨作$y\to y(x)$，则有

$\frac{dy}{dx}=a(x)y(x)+f(x)\iff \frac{dy}{dx}=y(a(x)+\frac{f(x)}{y(x)})$

变量分离计算可得

$y=C·e^{\int\frac{f(x)}{y(x)}dx}·e^{\int a(x)dx}\qquad(6)$

观察$(2)$与$(6)$，不难发现$(2)$是形如$y=C·e^{\int a(x)dx}$的形式，$(6)$是形如$y=c(x)·e^{\int a(x)dx},\;c(x)=C·e^{\int\frac{f(x)}{y(x)}dx}$的形式。而二者的差异则为将前者的常数变易为$c(x)$，这便是常数变易法原理的一种思路。