概率论与数理统计笔记-Ⅰ

阅读《概率论与数理统计教程》及《概率论基础教程》过程中遇到的一些有趣好玩の结论or问题的记录

显然考试必不考QwQ

组合分析

圆排列

从$n$个元素里选出$m$个元素的圆排列

$\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m(n-m)!}$

证明显然。

不尽相异元素全排列

对于$n$个元素，其中$n_1$​个彼此相同，另$n_2$个彼此相同，…，$n_r$个也彼此相同。那么一共有

$\frac{n!}{n_1!n_2!...n_r!}$

种不同的排列方式。

证明显然。

重复组合

从$n$个不同的元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续如$r$次共有

$\tbinom{n+r-1}{r}=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

种不同的组合方式。

证明显然。

e.g.

共有$\tbinom{n-1}{r-1}$个不同的正整数向量$(x_1,x_2,...,x_r)$满足

$x_1+x_2+...+x_r=n\qquad x_i>0,i=1,2,...,r$

共有$\tbinom{n+r-1}{r-1}$​个不同的非负整数向量$(x_1,x_2,...,x_r)$​满足

$x_1+x_2+...+x_r=n\qquad x_i≥0,i=1,2,...,r$

Problem 1.0.0.

将 $n$个完全相同的物品，放入 $m$个互不相同的盒子中，一共有几种不同的放法？

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概率论公理

Buffon’s needle problem

Question 2.0.0.

平面上画有间隔为$d$的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为$l$的针，求针与平行线相交的概率。

Solution 2.0.0.

记$x$为针的中点离最近的一条平行线的距离，$\phi$为针与该平行线的夹角。则有

$0≤x≤\frac{d}{2},\;0≤ \phi ≤ \pi$

得到$xO \phi$矩形区域，面积为$\frac{d \pi}{2}$。要使得针与平行线相交，则有

$x\le sin\phi \; \frac{l}{2}$

即

$P=\frac{\int_0^\pi sin\phi \; \frac{l}{2} {\rm d}\phi}{\frac{d \pi}{2}}=\frac{2l}{\pi d}$

Follow up 2.0.1.

平面上画有间隔为$d$的等距平行线，向平面任意透支一个边长分别为$a,b,c$的三角形，求三角形与平行线相交的概率。

Solution 2.0.1.

三角形与平行线相交$\iff$$a,b$与平行线相交，或$a,c$与平行线相交，或$b,c$与平行线相交。

即事件$A_a,A_b,A_c,A_{ab},A_{bc},A_{ac}$分别为边$a$与平行线相交，…，边$a$和边$c$与平行线相交。

则有

$P(A_{ab}\cup A_{ac}\cup A_{bc})=P(A_{ab})+P(A_{ac})+P(A_{bc})$

对于$P(A_a)$，有

$P(A_a)=P(A_{ac})+P(A_{ab})$

同理，有$P(A_b)=P(A_{bc})+P(A_{ab})$且$P(A_c)=P(A_{ac})+P(A_{bc})$

则

$P(A_{ab})+P(A_{ac})+P(A_{bc})=\frac{1}{2}[P(A_{a})+P(A_{b})+P(A_{c})]$

由Solution 2.0.0.得

$\frac{1}{2}[P(A_{a})+P(A_{b})+P(A_{c})]=\frac{a+b+c}{d\pi}$

Zhang C.R. problem

Question 2.1.0.

二维线性空间中，在圆周上随机、均匀地选取三点，是锐角三角形（包含圆心）的概率为？

Solution 2.1.0.

NULL

Follow up 2.1.1.

三维线性空间中，在球面上随机、均匀地选取四个点，围成的凸正四面体中包含球心的概率为？

Follow up 2.1.2.

$n$维线性空间中，在$n-1$维超球面上随机、均匀地选取$n+1$个点，它们构成了一个$n$维单纯形。这个单纯形包含超球心的概率为？

Ye D.Z. problem

Question 3.0.0.

屈屈正在苦恼于怎么考过英语四级，这次她决定通过摇骰子的方式玄学过四级。假定给你一个$n$面骰子，连续投$m$次后对总和取$1000$的模作为她的四级成绩，那么期望多少次考过$425$呢

Solution 3.0.0.